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《牛津通识课：概率》AI 大纲
全书视角AI 生成含原文摘录
本大纲由 AI 读书（阅读端智能大纲）生成，是全书结构与要点的机器梳理， 不等同于已亲读；其中第 4 层条目为书中原句摘录。章节可展开查看。
01 基本原理
概率的定义与理解
- 概率是不确定性这一概念的形式化表述
- 从生物学上说，我们都是父母基因随机混合后的产物。
- 像是石油泄漏、火山喷发、海啸、地震等灾害，或是中彩票这样令人愉悦的事情，都会随机且显著地影响人们的生活。
- 概率并不违背常识，只要清除掉或者考虑到这些问题中所有隐藏的假设，合理的答案就会浮出水面
- 的确有一些臭名昭著的有关生日、二孩家庭、有三个选择的电视节目游戏的“诡计问题”，它们似乎被设计成说服你这门学科是有违常识的。
古典概率
- 古典概率或者说客观概率经常出现在有关概率的游戏中，例如掷色子和转轮盘赌
- 这些过程都会产生一系列可能的结果，我们出于对称性的考虑，或者因为找不到是其中一个结果而不是另一个更会发生的原因，认为它们都是等可能的。
- 我们只是对结果进行计数，并赋予它们相等的概率，这样试验中的任何事件的概率都被认为是引发它的结果占所有结果的比率。
频率视角
- 在相同条件下进行的一系列投掷过程中，出现任何一个面的频率都会波动，但最终将会稳定并趋近于一个特定值
- 不可能出现前1000次投掷中20%的结果是6点，而接下来的1000次投掷中这个比例跳到了60%。
- 在这些可重复试验中，结果可能是不完全一样的，但是每一个结果都倾向于表现出某个特定的频率，频率论者认为这个频率值就是相应结果的概率。
主观诠释
- 对于他来说，每一个包含概率的陈述都是观点的表达，这种表达基于一个人自己的经验和知识，并且有可能在更多的信息被发现的时候发生变化
- 考虑如下五个断言：英国板球队队长会在下一次国际板球对抗赛猜对硬币；奥斯卡金像奖最佳男主角奖获得者，无论是谁，都会在下一年再次获奖；没有奥斯陆出生的人曾经获得过奥运会击剑金牌；理查三世应该对“塔中王子”的死负责；如果拉尔夫·纳德没有成为候选人，阿尔·戈尔本会在2000年被选为美国总统。
- 对于这其中的每一个推断，我们都能够给出自己的可信度、个人概率或者主观概率。这将会是一些非负数，并且不大于1，就是说它是一个介于0%和100%(含)之间的百分比。
赔率
- 无论我们使用古典概型、频率诠释还是可信度，赔率这个词语在描述概率的时候经常出现
- 我们可能会说用公正的色子掷出6的赔率是“1赔5”——在一系列投掷中，每一次我们掷出6，预期都会有五次掷不出。
- 如果一个结果预期比它的反面更有可能发生，例如排名更高的网球选手获得比赛的胜利，那这个结果就被叫作有胜算的(odds on)。
- 概率和赔率之间有确定的对应关系，我们能够简单地将其相互转换。
概率的应用与解读
- 概率是在不确定情况下做决定的关键
- 如果你真诚地相信特定的一件事或者一个论断的概率是单位1，那么你应该按照它无疑会发生一样来行事。
- 如果你真诚地相信概率是0，那么就按照它好像绝不会发生一样来行事。
- 如果你认为概率是从0到1之间的某个值，那么就按照你预期它会发生的比例来行事。
02 概率的运作
概率的理解方法
- 概率可以对应于某一个数字，也可以说一个概率更大，或者一件事情的可信度比另外一件事情更高。
- 建立两个独立的理解概率的方法是有用的，一个是可信度，另一个是古典概率
- 两者应该具有相同的逻辑规律，不自相矛盾，但两者对于概率是如何生成的和被理解的可以不同。
加法定理
- 当两个事件互斥时，至少一个事件发生的概率是两个事件各自发生概率的和
- 这个定理显然适用于所有我们能够以古典视角观察的试验。
- 在任何可重复试验中——例如掷色子或者旋转轮盘赌轮——两个不相交事件的频率和一定是至少一个事件发生的频率。
- 一个持主观视角的人也能接受这个定理。
- 加法定理可以拓展到包含大量事件的集合中，前提是这些事件中任意两个都没有相同的结果
- 即使一个事件包含了1 000 000种不同的结果，其发生的概率也仅仅是每种结果单独的概率的和。
- 但是假设结果的个数不再有限，例如连续掷一枚硬币直到正面出现时掷硬币的次数，这个试验可能的结果组成一个无限长的表{1， 2， 3， 4，…}，表中的每一个数值都对应着其非零的概率。正面出现时掷硬币次数为偶数的概率是多少？在{2， 4， 6， 8，…}中的结果会让这个事件发生。我们能通过计算其概率和来计算这个事件的概率吗？数学上这个加法计算没有很大困难，但这个操作已经超出了古典概型的范围，古典概型只能处理有限多个可能的结果。
乘法定理
- 两个事件同时发生的概率就是第一个事件发生的概率与第一个事件发生时第二个事件发生的概率的乘积
- 在硬币和扑克牌的问题中，掷硬币的结果对扑克牌的结果没有影响。我们不会因为得知了硬币掷出正面就改变头脑中抽到红色牌的概率——在给定第一个事件发生的条件下，另一个事件的条件概率(conditional probability)就是它的正常的概率。如果这成立，这两个事件被称为是独立的(independent)，两个事件同时发生的概率就是两个事件单独发生的概率的乘积。
- 对于10个球的问题，两个事件同时发生的概率也作为乘积出现，其中第一个乘数是一个事件(较小数字)的概率，而第二个乘数是得到较小数字时得到绿色数字的条件概率。
独立性
- 一个事件的发生与否不会影响另一个事件发生的概率，第二个事件是否发生也并不会影响第一个事件的概率
- 当两个事件中任何一个发生与否均不会对另一个事件的概率产生影响时，这两个事件是独立的。
- 要计算两个事件同时发生的概率，就将它们各自的概率相乘。
具有重叠的事件
- 为了计算两个事件中至少一个发生的概率，并纠正可能会被重复计算的结果，就将各自的概率相加，然后减去两个同时发生的概率
- 如果两个事件是互斥的，就不可能同时发生，所以这个额外项的值为0，我们就回到了原先的加法定理。
两个以上的事件
- 如果事件是相互独立的，那么它们全都发生的概率就只是它们各自概率的乘积
- 但我们很少会足够幸运地处于这种情况，实际上在一个分段的评估中，随着工作的推进概率在不断变化，这是一种常态。
三个或者更多的事件中至少一个发生的概率
- 加法定理的确可以拓展到这种情况，然而因为这个表达式实在是难以处理，我不会在这儿写下来
- 它的推导过程与之前描述过的将乘法定理应用于许多事件均发生时所使用的过程一样：一步一步来。
概率的逆向思考
- 任何事件要么会发生，要么不会发生。总概率被分成了事件发生和不发生两部分
- 如果我们可以找到事件不发生的概率，把这个概率从100%中减掉，就能够推断出它发生的概率。
03 历史概要
概率的起源和早期发展
- 1600年左右，佛罗伦萨的赌徒们注意到总点数为10出现得比9明显多
- 他们就此向伽利略请教一个解释，伽利略指出他们计数的方法有缺陷。
- 1654年夏天，帕斯卡和费马就点数分配问题进行了通信，各自独立地找到了一个解决方案
- 他们使用了不同的方法，但是得到了相同的结果，两人都对对方的才华表示赞赏。
- 对上述具体的问题，应该按照3∶1的比例分配，史密斯得到3/4的赌金，琼斯得到1/4的赌金。
- 帕斯卡提出了一个有关上帝是否存在的赌局，他是概率的主观方法的先驱者
- 他提出，如果上帝存在，相信或者不相信带来的不同，就是在天堂获得无限的幸福与在地狱忍受无限的痛苦之间的区别。
- 如果上帝不存在，相信或者不相信只会带来尘世生活中细小的差别。所以一个不可知论者应该强烈倾向于相信上帝存在。
伯努利家族的贡献
- 雅各布·伯努利在其遗作《猜度术》中，用他的例子巧妙地进行说明，给出了一个答案
- 假设罐子中60%的球是白色的，其余的是黑色的，随机抽取一个球。伯努利证明，只要试验抽取至少25 550回，每一次试验中抽到白球的比例落在58% ~ 62%的范围外部，就会有至少1000次试验中抽到白球的比例落在这个范围内部。
- 伯努利试验和伯努利大数定律
- 在p这个值附近取任意区间，你愿意它有多小就有多小(±2%或±0.1%，都无所谓)。然后给出你想要让成功的频率落在这个区间内部比落在其外部高多少(100倍还是100万倍，怎样都行)。伯努利的方法证明了只要试验重复足够多次，任意这样的要求都会被满足。观察到的频率会像你期望的那样尽可能地接近于客观概率，只要给出充足的数据。
亚伯拉罕·棣莫弗的工作
- 棣莫弗提出了一个对这类问题具有广泛应用的公式
- 他高超的洞察力表现在，他意识到数字6的实际数量与期待的平均数量之间的偏差，可以用投掷次数的算术平方根来进行最适当的描述。
- 棣莫弗的方法可以用考察一个公正的硬币投掷20次时有多少次正面朝上来说明
- 基于所有的例如正正正反正……正反正反这样的，长度为20的序列都是等可能出现的，我们可以绘制出图1。其中垂直条的高度表示大约100万种序列中有多少个恰好包含0、1、2、……19、20个正面。这些数字各自的客观概率就正比于这些高度。棣莫弗证明了经过这些竖条顶点的最佳拟合的光滑连续曲线非常接近于一个特别的形状，现在通常称之为正态分布。
贝叶斯的工作和逆概率
- 贝叶斯给出了初步处理主观概率的一般方法和从数据中推断概率的保险精算师问题的一个解决方法
- 他的《机遇问题的解法》在他死亡三年后的1764年出版。
- 贝叶斯法则在刑事审判中处理证据的方法中至关重要
- 假设在犯罪现场找到的指纹被鉴别为属于一个已知的人——史密斯。如果史密斯是无罪的，发现这个证据的概率很可能是非常低的。但是法院判决的依据不是“已知史密斯是无罪的，发现这个证据的可能性有多大”而是“已知发现了这个证据，史密斯无罪的可能性有多大”。贝叶斯法则是获得答案唯一合理的方法。
中心极限定理
- 拉普拉斯拓展了棣莫弗的工作以便能涉及像这样的情况，他建立了中心极限定理
- 这个定理说明了在很多情况下，大量随机数据的和是棣莫弗的正态分布的理想近似状态。
泊松分布
- 泊松计算出了小区间长度缩小至0的过程中，发生0、1、2……次发射的全部的确切概率
- 这个泊松分布就经常出现在我们计算事件“随机”发生概率的时候，至少是以一种良好近似的方式。
俄罗斯学派
- 切比雪夫展示了如何在更广泛的情况中应用大数定律
- 切比雪夫的工作给出了误差足够小以使得估计可靠的概率。
- 马尔可夫将他的想法应用于诗歌和文学作品
- 在将亚历山大·普希金的《叶甫盖尼·奥涅金》中的元音字母(vowel)和辅音字母(consonant)分别替换为字母v和c之后，马尔可夫得到了一个只含有这两个字母的序列。
- 在预测一个字母之后的字母是元音还是辅音的过程中，他发现，已知当前的字母时可以忽略它前面所有的字母，因为它们基本不构成影响。
- 这个“可以忽略”的特性广泛存在。有一些例子：赌徒手中的一系列连续的赌金数额；特拉维夫(Tel Aviv)每天的天气(干或者湿)；在每一个顾客离开时队列的长度；连续世代的基因组成；两个相连的容器中的气体扩散过程。如果知道序列中的前一个值，要预测随机变化序列的下一个值的时候，我们都可以忽略更前面的那些值，那么这个序列被称为具有马尔可夫性质(Markov property)。
近代概率论的发展
- 战争经常会驱动科学发展，1939—1945年的世界冲突促进了运筹学的发展
- 为了使一艘补给船不被敌军潜艇击沉的概率最大，一系列数据的组合和计算给出了舰队比单艘船更好，大舰队比小舰队更好的结论。
- 当这个结论被付诸实施，损失就显著地降低了。布莱切利园(Bletchley Park)的密码解读工作现在大概已经广为人知了。然而我们经常忽视贝叶斯公式在确定恩尼格玛密码机(Enigma machines)卷轴最有希望的布置方式中的应用。
- 威廉·费勒出版了一本介绍概率的著作，并在1957年和1968年再版
- 这本书是我心目中有史以来最好的非虚构著作。凭借着直觉和严密论证的结合，这本书直接地或者间接地引发了人们对这门学科的巨大兴趣。
- 现代计算机的算力已经转变了计算概率的模式
- 它们的运算速度和存储容量极大地拓展了可解决问题的范围。
04 概率试验
概率试验的基本概念
- 分布是分析概率试验中结果变化范围的中心概念
- 我们需要知道可能的结果的范围，为了给出这些结果概率的合理数值，我们必须讲清楚我们的假设，并且期望它们对于我们想要考察的试验是合适的。
离散分布
- 离散分布适用于可能的结果能够被写成一个列表的情况，每个结果都有它们自己的概率
- 最简单的情况就是我们认为结果具有相同可能性时计算结果的数量，这里使用均匀分布这个术语。
- 术语“伯努利试验”描述了一系列发生概率均为常数的独立试验。在伯努利试验次数固定的情况下，有一个简单的公式叫作二项分布，分别给出了事件发生恰好0、1、2……次的概率。
- 事件首次发生的时候经过了5轮试验的概率是多少？这种情况发生的唯一方式就是前4次试验中事件都未发生，随后1次试验中事件发生；因为所有的试验都是独立的，问题的答案就是将这些结果分别的概率乘在一起，这就是所谓的几何分布。
连续分布
- 连续分布适用于可能的结果组成一个连续统，而不只是一个列表的情况
- “随机”意味着所有单独的点都具有相同的概率值。但如果这个相等的值超过了0，那么，在取了足够多的点之后，它们的总概率就会超过单位1，这是不可能的。每个单独的点的概率一定是0，我们也不能使用像图4一样的图片了。我们需要将概率、片段或者区间相关联，而不是将概率和单独的点相关联。
- 为了对80 cm的木棍的每一部分一视同仁，所有具有相同长度的片段一定有相同的概率。想象一下将木棍砍成8个相等的片段：按照定义，一个“随机的”点落在每个片段上的概率一定相同，举例来说，落在20~30 cm的片段上一定具有1/8的概率。
- 一个能按照这种方式生成概率的曲线被称为概率密度。已知面积的计算方式是“长乘以宽”，任何直线的宽度都是0。因此图6中在点A或者点D的竖直线的“面积”都是0，所以这两个单独的点具有0值的概率，就像之前提过的那样。但是点A的密度曲线比点D高，所以点A附近的值比点D附近的值更可能。简单地说，图片表明具有或高或低的概率的区域。在这里我们使用连续分布(continuous distribution)这个术语。
平均值
- 平均值是大量重复试验结果的集中趋势
- 无论我们有什么样的分布，相似的计算都会得出大量重复试验结果的集中趋势。
- 在连续分布中，想法是类似的，但是加权和是由一种名为积分(integration)的数学方法来得出的。
离散程度
- 方差和标准差是描述一个分布离散程度的重要指标
- 我们可以通过将这些平方值加权来得到离散程度。得到的这个值就叫作方差(variance)。
- 将方差取算术平方根就可以得到原始计量中的单位，这就得到了标准差(standard deviation)。
极端值分布
- 极端值分布关注随机数量的最大值或者最小值
- 最简单的看似可信的模型假定存在一些独立的随机变量，每个都分别遵循一个特定的分布。
- 能够对这三种分布进行一些限制是非常有帮助的。通过估计极端值的平均值和方差，从三种分布中选择一种最接近于实际数据的，就能计算分布中的另一些概率的合理估计，比如真实情况中极端和破坏性事件的概率。
05 理解概率
赔率与概率的关系
- 赔率是概率的另一种表现形式，但赔率并不等于概率
- “赔率”这个术语也已经被赌徒们篡改成了一个相当不同的意思——如果你选择的马胜出了，你获得的赌资。
- “11比4”没有与胜利概率之间的必然联系。这个比例只依赖于赌徒对于马胜出概率的主观评定。
- 商业赌博都是不公平的，因为庄家总有收益
- 对一家英国赌场的轮盘赌来说，所有的37种结果都是等可能的，赌其中一个数字的赔付比例只有35比1，而不是公平的36比1。
- 所以一次37英镑的赌局回报的平均值只有36英镑，这就得出庄家收益率——对于任何赌局庄家都预期会赢——为1/37，大约2.7%。
绝对风险与相对风险的区别
- 相对风险降低，但绝对风险可能变化不大
- 假设初始的风险是1/10 000 000：将它减小50%得到新的风险数字1/20 000 000，但是在前后两种情况中，这个风险是相当的小，以至于在10 000个人中，我们预期两种情况给出相同的患者数字——0。
- 尽管风险被减半了，药品也几乎不会产生什么作用。
- 考察绝对风险而不是相对风险的变化，通常是更有意义的
- 在上面的第一个情景中，绝对风险从0.1%变成了0.05%，降低了0.05%；在第二个情景中，降低了一个极小的数字0.000 005%；而在最后一个情景中，降低了令人印象深刻的20%。
组合小概率
- 在大量均具有微小概率的事件中，有多大可能至少有一个发生？
- 波莱尔-坎泰利引理告诉我们，在很多情况下，重要的是这些微小的概率的和
- 如果这个和是无穷大的，那么灾难一定会发生。
- 结果就是我们永远不会满意于当前的安全标准。持续进行改进是必不可少的。
误解概率的情况
- 医生和患者对概率的解读可能不同
- 医生考虑的是他看到的所有患者，这个患者考虑的是她服药的次数。
- 公众对电视天气播报员说的“明天芝加哥下雨的概率是30%”可能有不同的解读
- 一些人认为他们被告知城市中的降雨区域超过30%。
- 其他人认为芝加哥会在一天中30%时间中下雨。
- 还有一些认为30%的气象学家预期会下雨。
- 一小部分人认为一定会下雨，30%这个数字意味着降雨的强度。
- 人们对“如果随机选择至少23个人聚集在一起，其中有两个人生日相同的概率就会超过1/2”可能有误解
- 他们以为自己被告知，如果另外22个人被聚集起来，其中的一个和他们生日相同的概率超过1/2。
- 人们对连续出现反面后的“平均法则”可能有误解
- 一些人就会宣称下一次投掷几乎确定地是正面朝上。
- 这样的法则并不存在。大数定律的确会暗示正面和反面朝上的比例是相等的，但在长远的情况下，任何的连续9个反面的序列都会被前面或者后面的1000次投掷抵消。
- 报纸对概率的报道可能存在误解
- 当从超市买来的6个鸡蛋全都是双黄蛋，报纸就会宣称一件令人震惊的事件发生了。
- 针对某一个英格兰足球队长私人生活的指控曝光，一名记者对于球队经理的4种可能的反应给出了“可能性”数值，这4个估计的概率中的任何一个单独都是貌似可信的。但是因为它们都关联着互斥的结果，它们的和就不能超过单位1。
- 在英国国家彩票中赢得至少50 000英镑的人的名字，大多包括了约翰(John)、大卫(David)、迈克尔(Michael)、玛格丽特(Margaret)、苏珊(Susan)和帕特里夏(Patricia)。目前为止看起来还好，但是因此应该在购彩票集团中引入有这些名字的人就是很荒谬的了!
描述未知
- 我经常无法选择单独一个数字，我对错过中转火车的最佳估计可能是3/4，但是2/3和4/5也貌似是可信的
- 我可以用一个0到单位1的连续分布来描述我对这个不确定概率的感觉。
- 完全未知的概率——非常罕见的情况——可以被图5中的连续均匀分布描述
- 更常见的情况是，首先有一个中间值，它是你以单个数字对这个概率给出的最佳猜测，然后你会直觉地认为更大和更小的值的分布会降到0。
- 图8展示了具有这种性质的被称为贝塔分布(beta distribution)的一组图像。
效用
- 效用解释了为什么房主和保险公司会同意总额250英镑是合理的年度保险费
- 保险公司的大额赔款意味着，对于任何单独一栋房子，这笔赔款可以看作与相关的数目较小的赔款预期的和是相等的。
- 只要在任意一年中需要赔款的概率小于1/1000，保险公司在这笔交易中的期望值是正的，它就会盈利。
- 另一方面，没上保险的房主就需要面对巨额的负效用，如果房子遇险，损失25万英镑，所以对于她来说，主动放弃250英镑来阻止这种可能性就是一笔合适的交易。
06 人们玩的游戏
彩票
- 彩票对人们的主要吸引力是巨额的中奖预期
- 曾有一张英国彩票开出2200万英镑的大奖，美国彩票的奖额已经超过了3亿美元。
- 彩票玩家平均收入的值远低于赌场赌博或者赛马
- 因为只有50%的彩票收入会成为奖金。
- 效用能够给出买彩票行为的合理解释
- 用1英镑作为交换，无论如何你都会得到平均50便士，另外50便士你就用来买了梦想未来奢侈生活的权利、做了慈善事业，还有像我一样确信你在浪费钱的人的潜在的羡慕。
- 在相同的假设下，一名男子中得头奖的概率和他在接下来3分钟内死亡的概率几乎相等
- 一个随机选出的40岁男子在一年内死亡的概率是1/1000。
- 他在一天中死亡的概率是大约1/365 000，在一小时内死亡的概率是1/9 000 000，所以概率低到1/14 000 000表示的就是他在接下来的35分钟内死亡的概率了。
- 你可以通过训练某种能力来影响你可能获得的奖额的大小
- 在这些彩票规则中，奖池确定比例的部分会在每个奖励等级中被相应的中奖者们平分。
- 别基于“没有其他人会想到这个”耍小聪明
- 例如选择{1， 2， 3， 4， 5， 6}，或者选上次开奖时候的中奖号码。他们的确会想到。
- 已知其他玩家会像他们以前做的那样继续频繁地选择他们特定的号码，对于英国的6/49类型的彩票来说，下面的过程会帮到你
- 取普通的52张一副的纸牌然后去除3张。将剩下的纸牌与数字1到49一一对应，洗好牌，然后抽取6张纸牌。
- 对于这6张牌，作如下规定：(a)它们加在一起至少达到177(为了偏向较大数字)；(b)在写在彩票上的时候，它们分成了2、3、4或者5个集群；(c)它们中有3、4或者5张的值落在彩票数值的边缘上；(d)它们不会在彩票上形成任何明显的规律。
- 如果其中任意一个条件不被满足，就将这6张纸牌放回牌堆，彻底地洗一遍牌，然后重复这个过程。
电视游戏
- “黄金球”游戏中，玩家完全是随机选择
- 从11个物体中选取5个一共有462种方式，所以从中选取到5个最有价值的球的概率就是1/462。
- “成交与否”游戏中，庄家总是会给比剩余的盒子的平均金额少的出价
- 长远地看大数定律保证了“成交”的选手获得的金额比他们盒子中的少。
- “金钱本色”游戏中，葆拉从每一轮中剩下的盒子中做选择是完全随机的
- 在她的最后一轮中，剩下了11个盒子，她的策略显而易见：例如，如果她想要9000英镑来达到目标，而且恰好6个盒子价值9000英镑或者以上，她就会计划在9000英镑出现时叫停，她成功的概率是6/11。
- 但是如果在早期的几轮中她应该怎么办呢？或在还有两轮的时候，剩下的12个盒子装有(以1000英镑为单位)1、4、5、6、9、10、12、13、15、17、19、20，而她需要额外的15 000英镑。当她看到7000英镑时叫停是不合理的；如果7000英镑曾经出现过，她就知道这时候盒子中至少有9000英镑，所以她就应该在9000英镑时叫停，显然这是更好的策略。
- 她也可以将自己的选择限制在这剩下的12个数字中。相同的论证也同样适用于早前的几轮中——她叫停的最佳时机总是在剩下的某一个盒子里的金额出现的时候。
纸牌游戏
- 在“二十一点”中，庄家必须遵循关于何时发牌的固定规则，玩家想做什么就做什么
- 索普开发出了一个追踪牌堆中剩余牌的方法。当数值较大的牌占比较高的时候，可能规则会变成强迫庄家抽牌，最终导致其点数超过21点而爆牌输掉。在相同的情况下，玩家却可以选择不抽牌。
- 在桥牌游戏中，使用贝叶斯公式可以提升你做出正确决定的概率
- 使用计数的方法，我们可以找到她持有全部两张牌的情况占全部情况的比例，这样就会给出对于“有罪”概率的最初评估。按照标准的习惯，最好将这个概率转化成它等效的赔率。最开始的计算完成后，我们可以说我们得到了(有罪的)先验赔率(Prior odds)。
- 当纸牌游戏进行下去，相关的证据就会浮现出来——但她或许是在耍花招。为了考察这些证据是如何影响“有罪”的赔率的，我们来计算一个叫作似然比(Likelihood Ratio)的量。
- 我们现在就可以推断出后验赔率(Posterior odds)，也就是说在考虑到证据的情况下“有罪”的概率，使用贝叶斯公式，也就是：后验赔率=先验赔率×似然比。
- 在德州扑克中，扑克游戏需要的远远不止概率技巧
- 你必须对对手有可能持有的牌，以及你什么时候应该虚张声势做出评估。但是有些时候概率十分有用。
07 在科学、医学和运筹学中的应用
概率在科学、医学和运筹学中的应用
- 概率的操纵方式是不变的，牢记学科的中心思想
- 加法和乘法定理、独立性、将客观概率和频率联系起来的大数定律、在将随机数求和时候使用的高斯分布、其他的一些经常出现的分布函数、反映总体情况时有用的平均值和方差。
- 一个对于问题大致正确的回答对于作出合适的决定有良好的指导意义
- 所有的模型都不是完全正确的，但是有一些是很有用的。
布朗运动和随机游走
- 布朗运动是花粉粒子被液体中的分子持续地撞击的现象
- 阿尔伯特·爱因斯坦对其给出了一个解释：花粉粒子被液体中的分子持续地撞击。
- 随机游走是假设每一步运动都是具有固定长度的，有时向左有时向右，每一次运动都是独立的
- 在许多次跳跃之后的位置只取决于向两个方向的跳跃次数的差值。
- 从起始点计算的距离平均值和方差与进行跳跃的次数成正比。
- 在一个固定的时间段中，增加跳跃的频率，并且降低每一次跳跃的距离。在这两种因素平衡的情况下，极限情况就是连续运动，运动经过的随机距离遵循高斯分布。
随机数
- “随机数”这个词指代的是下列两种想法之一
- 一个数从一个有限的列表中被取出来，所有的这些数都是等可能的。
- 一个点被从一个连续的区间中取出来，没有任何一小段是比其他的小段更容易被取点的。
- 现代计算机已经有内置的软件来获取与之相同的结果
- 输入一个初始值——随机数种子，一个确定的数学公式就会给出下一个值，它被当作新的随机数种子，以此类推。
- 这个过程中毫无随机意义可言，并且如果每一次都是用相同的随机数种子，就保证会生成完全相同的数列。
- 但是，基于数学公式的巧妙选择，生成的序列成了统计检验中的基础，而且对于任何目的和用途来说，它看起来就好像是随机的一样。
蒙特卡罗方法
- 蒙特卡罗模拟是使用计算机产生的随机数流来模拟实际情况
- 连续37次转动标准的欧洲轮盘赌轮会得到多少不同的数字？这个问题第一次呈现在我面前的时候，我没有立即看出有什么简单的方法能解决它。转动赌轮37次会得到3737(一个有59位的十进制数)种可能的结果，而且当你试图罗列，例如有28个不同数字的结果的时候，你将会很快失去热情。
- 一个更加吸引人的方法是进行一个所谓的蒙特卡罗模拟。在这里，计算机产生的随机数流将会用来模拟37次转动赌轮的结果，之后计算机将会计算有多少不同的数字出现了。
- 蒙特卡罗方法在聚合物化学、估计不规则形状叶片的面积、加油站建设选址等方面的应用
- 在聚合物化学中，一个分子是由大量的原子被随机扭曲的长链连接构成的。原子们只能出现在均匀分割的晶格中，并且关键的一点是，没有两个原子能够出现在同一个位置。
- 假设你想要估计一片不规则形状叶片的面积。画一个包围了这片叶子的矩形框，然后模拟大量的随机分散到矩形内部的点的位置。你的估计就是用矩形区域的总面积乘以落在叶子边界内部的点的占比。
- 如果保罗(Paul)想要建一个新的加油站。如果他安装4个加油泵，这是最小的可行的泵数，就会有至多8辆车的等待区；每个额外的泵减少2个等待区，所以如果他安装了最多的8个泵，就没有等待区了。为了计算多少个泵会让他的收益最大，他可以进行对安装了4、5、6、7或者8个泵的情况的模拟。
电码中的错误
- 采用“少数服从多数”的原则来进行解码，所有的{000， 100， 010， 001}都被理解为0，其他4种可能的情况被理解为1
- 如果只有1%的发送的符号被损坏了，那么当000被发送出去，利用二项分布告诉我们有99.97%的概率上述的4种序列被接收到。这意味着错误率从1%降到了0.03%，降低了超过30倍。
羊膜穿刺术
- 樊娟娟和莱文通过使期望效用最大化的逻辑分析过程得出他们的决定
- 可能出现的最坏结果是没有患唐氏综合征的胎儿流产，其效用赋值为0；最好的结果，是出生的胎儿不患有唐氏综合征，其效用赋值为单位1。
- 不进行羊膜穿刺术，生下来患有唐氏综合征的孩子，赋值效用x；进行了检测，的确检测出了唐氏综合征的效用y应该大一些。
- 他们计算出了进行检测和不进行检测的期望效用。如果第一个值超过第二个，就应该进行检测，在这种情况下，就是要求y大于(119/200) + x，粗略地要求y大于0.6 + x。
血友病
- 贝叶斯公式非常适合于这种情况
- 设“有罪”意味着贝蒂是携带者，因为有罪的先验概率是50%，先验赔率就是单位1。
- 如果贝蒂是无罪的(不是携带者)，证据(所有的兄弟都是健康的)的概率就直接是100%。
- 如果贝蒂是有罪的，每个安妮的兄弟都独立地有50%的概率避免错误的基因，所以每个健康的兄弟都会让似然比减半。
- 将后验赔率转换为后验概率，贝蒂是携带者的概率就相继是1/3、1/5、1/9、1/17……，对应于她有1、2、3、4……个全部健康的兄弟。
流行病学
- 阻止流行病的发生，两种明显不同的方法能达到这一效果：第一，接种疫苗来减少易感个体数；第二，找到增大阈值的方法
- 这个阈值是一个比值，分子增加的时候，阈值就会增加——加快治愈的速度，或者更迅速地将人们隔离——或者让分母减小——也许可以降低疾病的传染性，或者确保人们更少地相互接触，这可以通过暂时关闭学校或者推迟有大批人群聚集的运动赛事进行。
- 我们还可以评估这些对策的收益，以便决定采取什么策略。
批量测试
- 对一次收集多少个人的样本是最佳选择依赖于检测到阳性的概率
- 假设这个概率是1%。那么如果我们一次混合10个样本，那么它是一个阳性样本的概率大约是10%，同时这个样本为阴性的概率是90%。
- 所以90%的情况中我们只需要1次检测，但是10%的情况我们需要11次检测。这致使每次需要平均2次检测。
- 混合10个样本将会把检测10名新兵的花费从500英镑减少到100英镑。如果我们将这1000个士兵每组10人地分成100组，然后混合他们的血液样本，我们预期将会节省最初估计花费50 000英镑的80%。
航班超额预订
- 航空公司需要对一名预订了机票的乘客实际乘机的概率进行较好的估计
- 对于前往旅游目的地的包机来说，这个概率将会接近于100%，但是对于那些旅行计划中有更多可变性的乘客来说这个概率会比较低。
- 有关频率的数据将会帮助航空公司估计这些概率。
- 假定每个预订机票的乘客都独立地有80%的概率会最终登机。
- 如果售出120张票，总的收益就是12 000英镑，而且，虽然平均只有96名乘客会登机，但是有一定的概率，大概15%，超过100名乘客露面，至少有一名乘客留在地面。
- 这种情况下航空公司因为超额预订而需支付的赔偿平均为80英镑。多售出5张机票将提升500英镑收益，而平均全部赔偿只提升了275英镑，所以这个策略预计会收益更多。
- 平均收益最多的是售出128张票——比售出125张更多，额外的收益300英镑也已经比平均赔偿295英镑更多了，同时售出129张票会比这稍差一点。
排队
- 排队论为1948年和1949年的柏林空运的胜利作出了贡献
- 大卫·肯德尔引入了一种记号，形如A/B/n，现在普遍作为在顾客逐个地加入队列的时候，对于队列的描述方法。
- 我们想知道队列是如何运作的。最主要的问题是顾客们将会等多久，服务员多么频繁地无所事事，还有为了改善情况我们可以做什么？
- 如果平均每5分钟有一个顾客到来，一共有3名服务员，那么除非平均服务时间少于15分钟，否则就将会产生一个无限长的队列，总体运营就无法维持了。
- 在理想情况中，顾客排队时间比较短而且服务员将会一直工作。但是这两种要求正好是矛盾的。
- 队列的运作不只是依赖于流量强度。在其他条件相同的情况下，服务时间的可变性越强，预期队列将会越长。
08 其他应用
概率在法律事务中的应用
- 在民事案件中，陈述“概率是均衡的”就相当于明确地将分割线设在了50%。
- 在刑事案件中，只有在陪审团“确认”有罪后他们才能定罪，这些明显是主观概率
- 有些人会在她们80%确定有罪时定罪，另一些人会在95%或者更高时确定。
- “检察官谬误”是已知DNA相符的情况下无罪的概率，与已知无罪的情况下DNA相符的概率，是相等的
- 已知轮盘赌轮是公正的时候，转到0的概率与转出了0的情况下赌轮公正的概率并不相等。
- 通过考虑到贝叶斯公式计算证据有效性的方法，可以避免第二个错误
- 在存在DNA证据的情况下，假设有罪时证据出现的概率经常是100%，这就让证据的影响变得清晰起来：有罪的赔率就应该乘以那个是“几百万”的具体数字。
随机化回答在调查中的应用
- 随机化回答技术是可用的，负责记录回答的老师并不知道实际上询问的问题是什么
- 80张卡片每张都写着“我吸食大麻”，另外20张都写着“我不吸食大麻”。
- 每张卡片都被装入完全相同的信封中，这100个信封在一个大袋子中被充分混合。
- 假设1/3的回答都是“同意”，这与2/9的学生是使用者的情况是一致的
- 因为学生们都是随机地抽取信封，“同意”来自80%的使用者，与20%的非使用者的诚实回答。
世界反兴奋剂机构在检测中的应用
- 任何检测程序都可能会给出两种相反的错误：认为一名无罪运动员使用了禁药，和让一名禁药使用者通过检查
- 例如，检测测量睾酮(testosterone)与表睾酮(epitestosterone)的比例。
- 正常情况下肌体产生相等数量的这两种物质，但是那些通过注射睾酮以作弊的运动员就会有较高的T/E比。
- T/E比高于某个特殊的值，比如6比1的运动员，将会被禁止参赛。
- 然而，自然情况下T/E比就会变化：它会随着月经周期(menstrual cycle)变化，如果你得流感了，它也会增加。
- 禁药使用者的比例越低，这项测试就会越不令人满意，尽管它显然表现出色
- 假设某一次检测出错误的概率是1%。这意味着如果这个运动员是无罪的，那么他们不通过检测的概率是1%；如果他们是禁药使用者，那么他们通过检测的概率也是1%。
- 萨姆没有通过测试：她是无罪的概率是多大？唯一的正确答案是：“我不知道，这个概率可能是任何值。我们需要知道在全体受试者中使用禁药作弊的比例。”。
足球比赛结果的预测
- 一个理性的下注者会评估这三种结果各自的概率，而他是否下注、下注大小，还有赌本的赔付金额(payout prices)都会基于这些评估
- 对每一场比赛，他都基于对每一支队伍的进攻能力及其对手的防守能力的考察，给出了每支队伍平均的进球数。
- 使用泊松分布来评估在单场比赛中进球数为0、1、2、3……的概率。
- 我们不能让阿森纳进行同一场比赛100次来计算他们获胜的频率，那么我们如何调和阿森纳获胜72%的可信度与概率的频率观点呢？
- 我们可以根据她播报的整体记录，选择相信或不相信她对明天天气的播报。
- 在足球比赛中，我们也可以对于整个赛季中进行的所有比赛做类似的计算。
布莱克-斯科尔斯模型在期权定价中的应用
- 布莱克-斯科尔斯模型假设股价会随机变化，但是变化方式是一种与高斯分布有关联的特定方式
- 认购期权与认沽期权的合理价格都依赖于当前价、行权价格、干预时间、现行利率和相关价格的波动性(用一段时间内的标准差来衡量)，但是不依赖于平均的价格预期值。
- 波动性的增高会使得价格上涨的概率更高，但同时也会让价格下跌的概率更高——但是前者的效应更强一些
- 通过考察这一年中约250个交易日内价格的变化，可以衡量得到波动性。
- 为了使估计是可靠的，应该向模型提供足够的数据，但是也不能向过去延伸得太远，因为那些数据与现在的情况不相关。
投资分配中的相关性
- 规避风险的投资人倾向于分散持股，所以任何损失都会被其他地方的收益所弥补。它们希望持有负相关的资产
- 如果X与Y负相关，Y与Z负相关，那么X与Z就似乎是正相关了。
- 在很大的投资组合中，每一对投资都是负相关的确是有可能的。但是投资可选的数目越大，两两负相关的情形就越难以达到
- 所罗门·博纳(Salomon Bochner)的数学工作结果证明了在很大的投资组合中，每一对投资都是负相关的确是有可能的。
09 有趣而棘手的问题
帕隆多悖论
- 在所有赌局都对一方有利的时候，无论何种情况我们都不可能找到一种组合让另一方有优势
- 阿斯图米安的游戏纸板说明了这一点。
2 + 2 = 4，还是2 + 2 = 6？
- 要得到HT，认为我们预计得等2次才得到H是正确的，而要再等2次才得到T从而完成这个样式。2加2等于4。但是对于HH，在我们得到第一个H的时候，下一次投掷有一半的可能性会掷出T，我们就得重新开始了——之前得到H的所有次数就都浪费了。得到正确答案的计算过程在附录中。
彭尼赌局游戏
- 无论她选择了什么，你都可以选择一个有至少2/3可能性比她的样式先出现的样式
- 获胜的秘诀在附录中。
粉/蓝卡片问题
- 看到粉色就明确地排除了两面均蓝色卡片的情况
- 所有3张卡片都是完全相同的，只有两张剩下了，粉/粉和粉/蓝。
- 这些卡片中有3个粉色面，所有这些面都等可能地被看到。但是只有一个粉色面的背面是蓝色——而有两个粉色面的背面是粉色。
牌组问题
- 对于露西来说，在有至少一张A的手牌中，我们可以算出有2张或者更多A的比例——大约37%。对于蒂娜，除了黑桃A，她还有另外12张手牌，从剩余的51张中随机选取。手牌中包括另一张A的可能性是56%：蒂娜远比露西更有可能持有2张或者更多A。
辛普森悖论
- 对比例的操作是很危险的，这种情况到处都会发生
- 假设在英语系，950名女性申请者中的20%，以及50名男性申请者中的10%被录取了；在商学院，所有的50名女性得到了录取资格，但是950名男性中只有一半被录取。求和得到：240名女性和480名男性被成功录取，但是，在每一个院系，女性的录取率都是男性的2倍。有歧视的话也是针对男性的，而不是女性!
- 确实，在真实世界中，伯克利研究生院的几千名申请者中，44%的男性被录取，而只有35%的女性被录取。然而，当申请数据被分配给不同的院系的时候，男性和女性的录取比例就几乎没有差距了。但是不同的院系的录取率的确不同，而那些对两种性别都只录取很小比例的院系，女性申请者最多。
基因信息的应用及其影响
- 商业公司可能根据基因信息提供定制服务，但也可能导致不公平的待遇
- 如果你的基因组成暗示着你早逝的概率非常高，它们也许会愿意大幅提高养老金——但是也可能会要求更高的医疗保险费。
- 拥有某个人全部基因信息的公司可能会“提供”定制服务，完全按照客户的预期寿命量身定制。
- 基因信息可能影响个人的生活和工作，甚至影响社会公平
- 你的老板是否应该有权利因为你患某种疾病的风险较高而拒绝你的晋升？
- 高级公职人员，比如总统或者首相的候选人，是否应该公开他们的基因组信息，以便投票者进一步了解任何基因层面的不稳定因素？
对基因信息的思考和应对
- 在获取基因信息之前，应充分了解可能带来的影响
- 在你想要对自己的基因组进行测序的时候，要确保自己对你可能得到的消息有充分的准备。
- 基因信息不是“事实”，而是“概率”，应理性对待
- 无论你在这些令人不舒服的情形中感受到了什么，要记得这只是“概率”而不是“事实”。
术语对照
概率论基本术语
- 绝对风险、加法定理、航班超额预订、阿尔茨海默病、羊膜穿刺术、阿斯图米安的游戏、公理等。
概率论数学基础
- 袋子/罐子中的球、批量测试、贝叶斯公式、托马斯·贝叶斯、可信度、伯努利家族、伯努利学会、伯努利试验、贝塔分布、赌注、二项分布、生日、出生、二十一点、布莱克-斯科尔斯模型、布莱切利园、所罗门·博纳、波莱尔-坎泰利引理、埃米尔·博雷尔、乔治·博克斯、乳腺癌、桥牌、布朗运动、主教乔瑟夫·巴特勒等。
概率论应用领域
- 刑事审判、交易与否、布鲁诺·德·菲内蒂、亚伯拉罕·棣莫弗、密度、色子、扩散、难题、离散分布、不相容的、分布、乔·杜布、阿尔伯特·爱因斯坦、工科生、流行病、艾格纳·埃朗、误差、预期效用、预期值、指数分布、极端值分布等。
概率论高级概念
- 黄金球、米哈伊尔·戈尔巴乔夫、阿尔·戈尔、皮特·格里芬、冈贝尔分布、大卫·汉德、血友病、群体免疫、被马踢死、赛马、威廉·费勒、佛罗伦萨的赌徒们、飞行炸弹、足球比赛结果、弗雷歇分布、频率、频率方法、卡尔·弗里德里希·高斯、高斯分布、基因、几何分布、鲍里斯·格涅坚科、大数定律、似然比、威拉德·朗克尔、彩票、拉尔夫·纳德、艾萨克·牛顿、诺贝尔奖、正态分布、需治疗人数、客观方法、赔率、民意测验、期权、奥斯卡、布莱兹·帕斯卡、赔付金额、彭尼赌局游戏、个人概率、亨利·庞加莱、点数分配问题、泊松分布、西莫恩·德尼·泊松、扑克、聚合物化学、后验赔率、先验赔率、囚徒困境、概率密度、检察官谬误、伪随机数序列等。